(2019·河南初三)如图:已知△ABC中,CA=CB,CD⊥AB于D点,点M为线段AC上一动点,线段MN交D...
问题详情:
(2019·河南初三)如图:已知△ABC中,CA=CB,CD⊥AB于D点,点M为线段AC上一动点,线段MN交DC于点N,且∠BAC=2∠CMN,过点C作CE⊥MN交MN延长线于点E,交线段AB于点F,探索的值.
(1)若∠ACB=90°,点M与点A重合(如图1)时:①线段CE与EF之间的数量关系是 ;②= ;
(2)在(1)的条件下,若点M不与点A重合(如图2),请猜想写出的值,并*你的猜想
(3)若∠ACB≠90°,∠CAB=,其他条件不变,请直接写出的值(用含有的式子表示)
【回答】
(1)①CE=EF,② ;(2)=,理由见解析;(3)=.
【解析】
(1)、①CE=EF;② ;
(2)、=
理由如下:如图2所示:过点M作MQ//AB交CD于点P,交CF于点Q,
则有∠CMP=∠BAC=45°, ∴CP=MP,
∵∠BAC=2∠CMN, ∴∠CMP=2∠CMN, ∴∠CMN=∠NMP=22.5°,∵CE⊥MN,
∴∠CEM=∠QEM=90°,∴CE=EQ (三线合一),∵CD⊥AB, MQ//AB,
∴CD⊥MQ,∴∠MPN=∠CPQ=90°,又∵∠NCE+∠CNE=∠NCE+∠CQN=90°,
∴∠CQN=∠CNE=∠MNP,又CP=MP,∴△MPN△CPQ,∴CE=EQ ,MC=MQ,
∴CE=CQ=MN,∴=;
(3)、=.
图1 图2 图3
点睛:本题主要考查的是三角形全等的*与*质,等腰三角形的*质,综合*较强,难度较大.作出辅助线构造三角形全等是解决这个问题的关键.
知识点:解直角三角形与其应用
题型:解答题