【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补...

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【阅读理解】

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可*∠ABD＝∠ACE易*得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．

根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是　   　；

【拓展延伸】

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为　   　cm．

【回答】

解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵∠BDC＝120°，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

又∵∠ACE+∠ACD＝180°，

∴∠ABD＝∠ACE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，

∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，

故*为：DA＝DC+DB；

（2）DA＝DB+DC，

如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，

∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

∵∠ACE+∠ACD＝180°，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC，CE＝BD，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴∠DAE＝∠BAC＝90°，

∴DA2+AE2＝DE2，

∴2DA2＝（DB+DC）2，

∴DA＝DB+DC；

（3）如图3，连接PQ，

∵MN＝14，∠QMN＝30°，

∴QN＝MN＝7，

∴MQ＝＝＝7，

由（2）知PQ＝QN+QM＝7+7，

∴PQ＝＝，

故*为：．

【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和*质、直角三角形的*质、等边三角形的*质，掌握全等三角形的判定定理和*质定理是解题的关键．

知识点：勾股定理

题型：综合题