2019年12月以來，湖北武漢市發現多起病毒*肺炎病例，並迅速在全國範圍內開始傳播，專家組認爲，本次病毒*肺炎...

問題詳情：

2019年12月以來，湖北武漢市發現多起病毒*肺炎病例，並迅速在全國範圍內開始傳播，專家組認爲，本次病毒*肺炎病例的病原體初步判定爲新型冠狀病毒，該病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人羣稱爲密切接觸者，每位密切接觸者被感染後即被稱爲患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者後被感染的概率爲，某位患者在隔離之前，每天有位密切接觸者，其中被感染的人數爲，假設每位密切接觸者不再接觸其他患者.

（1）求一天內被感染人數爲的概率與、的關係式和的數學期望；

（2）該病毒在進入人體後有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內患者無任何症狀，爲病毒傳播的最佳時間，設每位患者在被感染後的第二天又有位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的數學期望記爲.

（i）求數列的通項公式，並*數列爲等比數列；

（ii）若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低後的患病概率，當取最大值時，計算此時所對應的值和此時對應的值，根據計算結果說明戴口罩的必要*.（取）

（結果保留整數，參考數據：）

【回答】

（1）；.

（2）（i），*見解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.

【分析】

（1）由題意，被感染人數服從二項分佈：，則可求出概率及數學期望；

（2）（i）根據第天被感染人數爲，及第天被感染人數爲，

作差可得可得，，可*，（ii）利用導數計算此時所對應的值和此時對應的值，根據計算結果說明戴口罩的必要*.

【詳解】

（1）由題意，被感染人數服從二項分佈：，

則,，

的數學期望.

（2）（i）第天被感染人數爲，

第天被感染人數爲，

由題目中均值的定義可知，

則，且.

是以爲首項，爲公比的等比數列.

（ii）令，

則.

在上單調遞增，在上單調遞減.

.

則當，.

.

.

戴口罩很有必要.

【點睛】

本題考查二項分佈的概率及期望，數學期望與數列綜合，考查綜合分析及轉化能力，考查知識的遷移能力，屬於較難題.

知識點：概率

題型：解答題