已知直線l經過點P(3，1)，且被兩平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段之長爲5，求直...

問題詳情：

已知直線l經過點P(3，1)，且被兩平行直線l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的線段之長爲5，求直線l的方程．

【回答】

解：(解法1)若直線l的斜率不存在，則直線l的方程爲x＝3，此時與l1、l2的交點分別爲A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的線段AB的長＝5，符合題意．

若直線l的斜率存在，則設直線l的方程爲y＝k(x－3)＋1.

解之，得k＝0，即所求的直線方程爲y＝1.

綜上可知，所求l的方程爲x＝3或y＝1.

(解法2)由題意，直線l1、l2之間的距離爲d＝，且直線l被平行直線l1、l2所截得的線段AB的長爲5(如圖)．

設直線l與直線l1的夾角爲θ，則sinθ＝，故θ＝45°.

由直線l1：x＋y＋1＝0的傾斜角爲135°，知直線l的傾斜角爲0°或90°.又直線l過點P(3，1)，故直線l的方程爲x＝3或y＝1.

(解法3)設直線l與l1、l2分別相交於A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.

兩式相減，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.　①

又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，　②

聯立①②，可得

由上可知，直線l的傾斜角分別爲0°或90°.

故所求直線方程爲x＝3或y＝1.

知識點：直線與方程

題型：解答題