如圖所示,某區有一塊空地,其中,,.當地區*規劃將這塊空地改造成一個旅遊景點,擬在中間挖一個人工湖,其中都在...
問題詳情:
如圖所示,某區有一塊空地,其中,,.當地區*規劃將這塊空地改造成一個旅遊景點,擬在中間挖一個人工湖,其中都在邊上,且,挖出的泥土堆放在地帶上形成假山,剩下的地帶開設兒童遊樂場.爲安全起見,需在的周圍安裝防護網.
(1)當時,求防護網的總長度;
(2)若要求挖人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍,試確定的大小;
(3)爲節省投入資金,人工湖的面積要儘可能小,問如何設計施工方案,可使的面積最小?最小面積是多少?
【回答】
(1)(2)(3)當且僅當時,的面積取最小值爲
【分析】
(1)根據題意可得,在中,利用餘弦定理求出,從而可得,即,進而可得爲正三角形,即求解.
(2)設,利用三角形的面積公式,在中,利用正弦定理可得,從而,即,即求解.
(3)設,由(2)知,在中,利用正弦定理可得,利用三角形的面積公式可得,再利用二倍角公式以及輔助角公式結合三角函數的*質即可求解.
【詳解】
(1)在中,,,,
在中,,
由余弦定理,得,
,即,,
爲正三角形,所以的周長爲,
即防護網的總長度爲.
(2)設,,
,即,
在中,由,得,
從而,即,由,
得,,即.
(3)設,由(2)知,
又在中,由,得,
,
當且僅當,即時,
的面積取最小值爲.
【點睛】
本題考查了正弦定理、餘弦定理在實際中的應用,三角形的面積公式以及三角恆等變換、三角函數的*質,屬於中檔題.
知識點:三角函數
題型:解答題