已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F爲CD的...

問題詳情：

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F爲CD的中點.

   （Ⅰ）求*：AF⊥平面CDE；

   （Ⅱ）求異面直線AC，BE所成角餘弦值；

   （Ⅲ）求面ACD和麪BCE所成二面角的大小.

【回答】

解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD

∴DE⊥AF。

又∵AC=AD=C，F爲CD中點

∴AF⊥CD，

∴AF⊥面CDE

∴AF⊥平面CDE  。

取DE中點M，連結AM、CM，則四邊形AMEB爲平行四邊形

AM//BE，則∠CAM爲AC與BE所成的角。在△ACM中，AC=2a

由余弦定理得：

∴異面直線AC、AE所成的角的餘弦值爲。

   （Ⅲ）延長DA。EB交於點G，連結CG。

  因爲AB//DE，AB=DE，所以A爲GD中點。又因爲F爲CD中點，所以CG//AF。

因爲AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE。

故∠DCE爲面ACD和麪BCE所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題