我們知道,三角形的內心是三條角平分線的交點,過三角形內心的一條直線與兩邊相交,兩交點之間的線段把這個三角形分成...
問題詳情:
我們知道,三角形的內心是三條角平分線的交點,過三角形內心的一條直線與兩邊相交,兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形.若有一個圖形與原三角形相似,則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”.
(1) 等邊三角形“內似線”的條數爲 ;
(2) 如圖,△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求*:BD是△ABC的“內似線”;
(3) 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,E、F分別在邊AC、BC上,且EF是△ABC的“內似線”,求EF的長.
【回答】
(1) 解:等邊三角形“內似線”的條數爲3條;理由如下:
過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線,如圖1所示:
則△AMN∽△ABC,△CEF∽△CBA,△BGH∽△BAC,
∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內似線”;
故*爲:3;
(2) *:∵AB=AC,BD=BC,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∴△BCD∽△ABC,
∴BD是△ABC的“內似線”;
(3) 解:設D是△ABC的內心,連接CD,
則CD平分∠ACB,
∵EF是△ABC的“內似線”,
∴△CEF與△ABC相似;
分兩種情況:①當==時,EF∥AB,
∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴AB==5,
作DN⊥BC於N,如圖2所示:
則DN∥AC,DN是Rt△ABC的內切圓半徑,
∴DN=(AC+BC﹣AB)=1,
∵CD平分∠ACB,
∴=,
∵DN∥AC,
∴=,即,
∴CE=,
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
∴,即,
解得:EF=;
②當==時,同理得:EF=;
綜上所述,EF的長爲.
知識點:相似三角形
題型:解答題