在平面直角座標系xOy中，定義點P（x，y）的變換點爲P′（x+y，x﹣y）．（1）如圖1，如果⊙O的半徑爲，...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，定義點P（x，y）的變換點爲P′（x+y，x﹣y）．

（1）如圖1，如果⊙O的半徑爲，

①請你判斷M（2，0），N（﹣2，﹣1）兩個點的變換點與⊙O的位置關係；

②若點P在直線y=x+2上，點P的變換點P′在⊙O的內，求點P橫座標的取值範圍．

（2）如圖2，如果⊙O的半徑爲1，且P的變換點P′在直線y=﹣2x+6上，求點P與⊙O上任意一點距離的最小值．

【回答】

【考點】圓的綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）①根據新定義得到點M的變換點M′的座標爲（2，2），於是根據勾股定理計算出OM′=2，則根據點與圓的位置關係的判定方法可判斷點M的變換點在⊙O上；同樣方法可判斷點N（﹣2，﹣1）的變換點在⊙O外

②利用一次函數圖象上點的座標特徵，設P點座標爲（x，x+2），利用新定義得到P點的變換點爲P′的座標爲（2x+2，﹣2），則根據勾股定理計算出OP′=，然後利用點與圓的位置關係得到＜2，解不等式得﹣2＜x＜0；

（2）設點P′的座標爲（x，﹣2x+6），P（m，n），根據新定義得到m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，消去x得3m+n=6，則n=﹣3m+6，於是得到P點座標爲（m，﹣3m+6），則可判斷點P在直線y=﹣3x+6上，設直線y=﹣3x+6與x軸相交於點A，與y軸相交於點B，過O點作OH⊥AB於H，交⊙O於C，如圖2，易得A（2，0），B（0，6），利用勾股定理計算出AB=2，再利用面積法計算出OH=，所以CH=﹣1，當點P在H點時，PC爲點P與⊙O上任意一點距離的最小值．

【解答】解：（1）①M（2，0）的變換點M′的座標爲（2，2），則OM′==2，所以點M（2，0）的變換點在⊙O上；

N（﹣2，﹣1）的變換點N′的座標爲（﹣3，﹣1），則ON′==＞2，所以點N（﹣2，﹣1）的變換點在⊙O外；

②設P點座標爲（x，x+2），則P點的變換點爲P′的座標爲（2x+2，﹣2），則OP′=，

∵點P′在⊙O的內，

∴＜2，

∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，

∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，

即點P橫座標的取值範圍爲﹣2＜x＜0；

（2）設點P′的座標爲（x，﹣2x+6），P（m，n），

根據題意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，

∴3m+n=6，

即n=﹣3m+6，

∴P點座標爲（m，﹣3m+6），

∴點P在直線y=﹣3x+6上，

設直線y=﹣3x+6與x軸相交於點A，與y軸相交於點B，過O點作OH⊥AB於H，交⊙O於C，如圖2，

則A（2，0），B（0，6），

∴AB==2，

∵OH•AB=OA•OB，

∴OH==，

∴CH=﹣1，

即點P與⊙O上任意一點距離的最小值爲﹣1．

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握點與圓的位置關係和一次函數圖象上點的座標特徵；會運用勾股定理定理和麪積法計算線段的長；提高閱讀理解能力．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題