如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B爲切點,∠OAB=30度.(1)求∠APB的度數;(2)當OA=3時,求A...
問題詳情:
如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B爲切點,∠OAB=30度.
(1)求∠APB的度數;
(2)當OA=3時,求AP的長.
【回答】
【考點】切線的*質.
【分析】(1)方法1,根據四邊形的內角和爲360°,根據切線的*質可知:∠OAP=∠OBP=90°,求出∠AOB的度數,可將∠APB的度數求出;方法2,*△ABP爲等邊三角形,從而可將∠APB的度數求出;
(2)方法1,作輔助線,連接OP,在Rt△OAP中,利用三角函數,可將AP的長求出;方法2,作輔助線,過點O作OD⊥AB於點D,在Rt△OAD中,將AD的長求出,從而將AB的長求出,也即AP的長.
【解答】解:(1)方法一:
∵在△ABO中,OA=OB,∠OAB=30°,
∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°,
∵PA、PB是⊙O的切線,
∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°,
∴在四邊形OAPB中,
∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°.
方法二:
∵PA、PB是⊙O的切線∴PA=PB,OA⊥PA;
∵∠OAB=30°,OA⊥PA,
∴∠BAP=90°﹣30°=60°,
∴△ABP是等邊三角形,
∴∠APB=60°.
(2)方法一:如圖①,連接OP;
∵PA、PB是⊙O的切線,
∴PO平分∠APB,即∠APO=∠APB=30°,
又∵在Rt△OAP中,OA=3,∠APO=30°,
∴AP==3.
方法二:如圖②,作OD⊥AB交AB於點D;
∵在△OAB中,OA=OB,
∴AD=AB;
∵在Rt△AOD中,OA=3,∠OAD=30°,
∴AD=OA•cos30°=,
∴AP=AB=.
【點評】本題考查了圓的切線*質,及解直角三角形的知識.運用切線的*質來進行計算或論*,常通作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構造直角三角形解決有關問題.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題