如圖，正三棱柱的所有棱長都爲，爲中點．建立如圖的空間直角座標系。（1）求*：平面；（2）求二面角的正弦值；（3...

問題詳情：

如圖，正三棱柱的所有棱長都爲，爲中點．建立如圖的空間直角座標系。

（1）求*：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求點到平面的距離．

【回答】

解法一：（Ⅰ）取中點，連結．爲正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，平面．

連結，在正方形中，分別爲的中點， ，．

在正方形中，，平面．

（Ⅱ）設與交於點，在平面中，作於，

連結，由（Ⅰ）得平面．

，爲二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又，．

所以二面角的正弦值爲．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離爲．

設點到平面的距離爲．

由得，．

點到平面的距離爲．

解法二：（Ⅰ）取中點，連結．

爲正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，平面．

取中點，以爲原點，，，的方向爲軸的正方向建立

空間直角座標系，則，，，，，

，，．

，，

，．

平面．

（Ⅱ）設平面的法向量爲．

，．

，，

令得爲平面的一個法向量．

由（Ⅰ）知平面，爲平面的法向量．

，．所以二面角的正弦值爲．

（Ⅲ）由（Ⅱ），爲平面法向量，．

    點到平面的距離

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題