已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．點M在邊AC上，點N在邊BC上（點M、點N不與...
問題詳情：
已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．點M在邊AC上，點N在邊BC上（點M、點N不與所在線段端點重合），BN=AM，連接AN，BM，*線AG∥BC，延長BM交*線AG於點D，點E在直線AN上，且AE=DE．
（1）如圖，當∠ACB=90°時
①求*：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度數；
（2）當∠ACB=α，其它多件不變時，∠BDE的度數是 α或180°﹣α （用含α的代數式表示）
（3）若△ABC是等邊三角形，AB=3
，點N是BC邊上的三等分點，直線ED與直線BC交於點F，請直接寫出線段CF的長．
【回答】
②想辦法*∠ADE+∠ADB=90°即可；
（2）分兩種情形討論求解即可，①如圖2中，當點E在AN的延長線上時，②如圖3中，當點E在NA的延長線上時，
（3）分兩種情形求解即可，①如圖4中，當BN=
BC=
時，作AK⊥BC於K．解直角三角形即可．②如圖5中，當CN=
BC=
時，作AK⊥BC於K，DH⊥BC於H．
【解答】（1）①*：如圖1中，
∵CA=CB，BN=AM，
∴CB﹣BN=CA﹣AM
即CN=CM，
∵∠ACN=∠BCM
∴△BCM≌△ACN．
②解：如圖1中，
∵△BCM≌△ACN，
∴∠MBC=∠NAC，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AG∥BC，
∴∠GAC=∠ACB=90°，∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠NAC，
∴∠ADB+∠EDA=∠NAC+∠EAD，
∵∠ADB+∠EDA=180°﹣90°=90°，
∴∠BDE=90°．
（2）解：如圖2中，當點E在AN的延長線上時，
易*：∠CBM=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠CAN+∠CAD=∠BDE+∠ADB，
∴∠BDE=∠ACB=α．
如圖3中，當點E在NA的延長線上時，
易*：∠1+∠2=∠CAN+∠DAC，
∵∠2=∠ADM=∠CBD=∠CAN，
∴∠1=∠CAD=∠ACB=α，
∴∠BDE=180°﹣α．
綜上所述，∠BDE=α或180°﹣α．
故*爲α或180°﹣α．
（3）解：如圖4中，當BN=
BC=
時，作AK⊥BC於K．
∵AD∥BC，
∴
=
=
，
∴AD=
，AC=3
，易*△ADC是直角三角形，則四邊形ADCK是矩形，△AKN≌△DCF，
∴CF=NK=BK﹣BN=
﹣
=
．
如圖5中，當CN=
BC=
時，作AK⊥BC於K，DH⊥BC於H．
∵AD∥BC，
∴
=
=2，
∴AD=6
，易*△ACD是直角三角形，
由△ACK∽△CDH，可得CH=
AK=
，
由△AKN≌△DHF，可得KN=FH=
，
∴CF=CH﹣FH=4
．
綜上所述，CF的長爲
或4
．
【點評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和*質、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬於中考壓軸題．
知識點：各地中考
題型：綜合題
