楊輝三角,是二項式係數在三角形中的一種幾何排列.在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡(1623-1662)是...
問題詳情:
楊輝三角,是二項式係數在三角形中的一種幾何排列.在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡(1623-1662)是在1654年發現這一規律的.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書裏出現瞭如圖所示的表,這是我國數學史上的一個偉大成就.如圖所示,在“楊輝三角”中,去除所有爲1的項,依次構成數列,則此數列前135項的和爲( )
A. B. C. D.
【回答】
A
【解析】
【分析】
利用n次二項式係數對應楊輝三角形的第n+1行,然後令x=1得到對應項的係數和,結合等比數列和等差數列的公式進行轉化求解即可.
【詳解】n次二項式係數對應楊輝三角形的第n+1行,
例如(x+1)2=x2+2x+1,係數分別爲1,2,1,對應楊輝三角形的第3行,令x=1,就可以求出該行的係數之和,
第1行爲20,第2行爲21,第3行爲22,以此類推
即每一行數字和爲首項爲1,公比爲2的等比數列,
則楊輝三角形的前n項和爲Sn2n﹣1,
若去除所有的爲1的項,則剩下的每一行的個數爲1,2,3,4,……,可以看成一個首項爲1,公差爲1的等差數列,
則Tn,
可得當n=15,在加上第16行的前15項時,所有項的個數和爲135,
由於最右側爲2,3,4,5,……,爲首項是2公差爲1的等差數列,
則第16行的第16項爲17,
則楊輝三角形的前18項的和爲S18=218﹣1,
則此數列前135項的和爲S18﹣35﹣17=218﹣53,
故選:A.
知識點:推理與*
題型:選擇題