已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點E在邊AD上(不與點A、D重合),∠...
問題詳情:
已知:如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,點E在邊AD上(不與點A、D重合),∠CEB=45°,EB與對角線AC相交於點F,設DE=x.
(1)用含x的代數式表示線段CF的長;
(2)如果把△CAE的周長記作C△CAE,△BAF的周長記作C△BAF,設=y,求y關於x的函式關係式,並寫出它的定義域;
(3)當∠ABE的正切值是 時,求AB的長.
【回答】
(1)CF=;(2)y=(0<x<2);(3)AB=2.5.
【解析】
試題分析:(1)根據等腰直角三角形的*質,求得∠DAC=∠ACD=45°,進而根據兩角對應相等的兩三角形相似,可得△CEF∽△CAE,然後根據相似三角形的*質和勾股定理可求解;
(2)根據相似三角形的判定與*質,由三角形的周長比可求解;
(3)由(2)中的相似三角形的對應邊成比例,可求出AB的關係,然後可由∠ABE的正切值求解.
試題解析:(1)∵AD=CD.
∴∠DAC=∠ACD=45°,
∵∠CEB=45°,
∴∠DAC=∠CEB,
∵∠ECA=∠ECA,
∴△CEF∽△CAE,
∴,
在Rt△CDE中,根據勾股定理得,CE= ,
∵CA=,
∴,
∴CF=;
(2)∵∠CFE=∠BFA,∠CEB=∠CAB,
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA,
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB,
∴∠ECA=∠ABF,
∵∠CAE=∠ABF=45°,
∴△CEA∽△BFA,
∴(0<x<2),
(3)由(2)知,△CEA∽△BFA,
∴,
∴,
∴AB=x+2,
∵∠ABE的正切值是,
∴tan∠ABE=,
∴x=,
∴AB=x+2=.
知識點:相似三角形
題型:解答題