已知∠MAN=135°,正方形ABCD繞點A旋轉.,圖①) ,圖②) ,圖③)(1)當正方形ABCD旋...
問題詳情:
已知∠MAN=135°,正方形ABCD繞點A旋轉.
,圖①) ,圖②) ,圖③)
(1)當正方形ABCD旋轉到∠MAN的外部(頂點A除外)時,AM,AN分別與正方形ABCD的邊CB,CD的延長線交於點M,N,連線MN.
①如圖①,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數量關係是__MN=BM+DN__;
②如圖②,若BM≠DN,請判斷①中的數量關係關係是否仍成立?並說明理由;
(2)如圖③,當正方形ABCD旋轉到∠MAN的內部(頂點A除外)時,AM,AN分別與直線BD交於點M,N,探究:以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是何種三角形?並說明理由.
【回答】
【解析】(1)①如圖①,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數量關係是MN=BM+DN.理由:△ADN≌△ABM(SAS),∴AN=AM,∠NAD=∠MAB.∵∠MAN=135°,∠BAD=90°,∴∠NAD=∠MAB=(360°-135°-90°)=67.5°.作AE⊥MN於點E,則MN=2NE,∠NAE=∠MAN=67.5°.∴△ADN≌△AEN(AAS),∴DN=EN.∵BM=DN,MN=2EN,∴MN=BM+DN.②如圖②,若BM≠DN,①中的數量關係仍成立.理由:將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE,易知N,D,E三點共線.∵AM=AE,∠MAE=90°,∴∠EAN=360°-∠MAN-∠MAE=360°-135°-90°=135°,∴∠MAN=∠NAE,∴△ANM≌△ANE(SAS),∴MN=EN.∵EN=DE+DN=BM+DN,∴MN=BM+DN.
(2)結論:以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.理由:如圖③,將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE,連線NE,∵∠MAE=90°,∠MAN=135°,∴∠NAE=360°-∠MAN-∠MAE=135°,∴∠EAN=∠MAN.∵AM=AE,AN=AN,∴△AMN≌△AEN,∴MN=EN.∵∠ADE=∠ABM=∠BDA=45°,∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°,∴DN2+DE2=NE2.∵BM=DE,MN=EN,∴DN2+BM2=MN2,∴以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.
知識點:圖形的旋轉
題型:解答題