如圖1，菱形ABCD的頂點A，D在直線上，∠BAD＝60°，以點A為旋轉中心將菱形ABCD順時針旋轉α（0°＜...

問題詳情：

如圖1，菱形ABCD的頂點A，D在直線上，∠BAD＝60°，以點A為旋轉中心將菱形ABCD順時針旋轉α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交對角線AC於點M，C′D′交直線l於點N，連線MN．

（1）當MN∥B′D′時，求α的大小．

（2）如圖2，對角線B′D′交AC於點H，交直線l與點G，延長C′B′交AB於點E，連線EH．當△HEB′的周長為2時，求菱形ABCD的周長．

【回答】

解：（1）∵四邊形AB′C′D′是菱形，

∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，

∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，

∴△AB′D′，△B′C′D′是等邊三角形，

∵MN∥B′C′，

∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60°，

∴△C′MN是等邊三角形，

∴C′M＝C′N，

∴MB′＝ND′，

∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，

∴△AB′M≌△AD′N（SAS），

∴∠B′AM＝∠D′AN，

∵∠CAD＝∠BAD＝30°，

∠DAD′＝15°，

∴α＝15°．

（2）∵∠C′B′D′＝60°，

∴∠EB′G＝120°，

∵∠EAG＝60°，

∴∠EAG+∠EB′G＝180°，

∴四邊形EAGB′四點共圓，

∴∠AEB′＝∠AGD′，

∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，

∴△AEB′≌△AGD′（AAS），

∴EB′＝GD′，AE＝AG，

∵AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，

∴△AHE≌△AHG（SAS），

∴EH＝GH，

∵△EHB′的周長為2，

∴EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，

∴AB′＝AB＝2，

∴菱形ABCD的周長為8．

知識點：各地會考

題型：解答題