若存在常數、、,使得無窮數列滿足則稱數列為“段比差數列”,其中常數、、分別叫做段長、段比、段差.設數列為“段比...
問題詳情:
若存在常數、、,使得無窮數列滿足 則稱數列為“段比差數列”,其中常數、、分別叫做段長、段比、段差. 設數列為“段比差數列”.
(1)若的首項、段長、段比、段差分別為1、3、、3.
①當時,求;
②當時,設的前項和為,若不等式對恆成立,求實數的取值範圍;
(2)設為等比數列,且首項為,試寫出所有滿足條件的,並說明理由.
【回答】
.(1)①方法一:∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3,
,,. ……………3分
方法二:∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3,
∴,,,,,,,…
∴當時,是週期為3的週期數列.
∴. ……………3分
②方法一:∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3,
∴,
∴是以為首項、6為公差的等差數列,
又,
, ……………6分
,,設,則,
又,
當時,,;當時,,,
∴,∴, ……………9分
∴,得. ……………10分
方法二:∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3,
∴,∴,∴是首項為、公差為6的等差數列,
∴,
易知中刪掉的項後按原來的順序構成一個首項為1公差為3的等差數列,
,
, ………………6分
以下同方法一.
(2)方法一:設的段長、段比、段差分別為、、,
則等比數列的公比為,由等比數列的通項公式有,
當時,,即恆成立, ……………12分
①若,則,;
②若,則,則為常數,則,為偶數,,;
經檢驗,滿足條件的的通項公式為或. ……………16分
方法二:設的段長、段比、段差分別為、、,
①若,則,,,,
由,得;由,得,
聯立兩式,得或,則或,經檢驗均合題意. …………13分
②若,則,,,
由,得,得,則,經檢驗適合題意.
綜上①②,滿足條件的的通項公式為或. …
知識點:數列
題型:解答題