已知函数f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值;(2)若方程f(x)=m有解...
问题详情:
已知函数f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=m有解,求m的取值范围.
【回答】
【考点】3H:函数的最值及其几何意义;4H:对数的运算*质.
【分析】(1)利用函数是偶函数,利用定义推出方程求解即可.
(2)通过方程有解,求出函数的最值,即可推出m的范围.
【解答】(本小题满分12分)
解:(1)由函数f(x)是偶函数可知,f(﹣x)=f(x),
∴log4(4x+1)+2kx=log4(4﹣x+1)﹣2kx,即log4=﹣4kx,
∴log44x=﹣4kx,∴x=﹣4kx,即(1+4k)x=0,对一切x∈R恒成立,
∴k=﹣.…
(2)由m=f(x)=log4(4x+1)﹣x=log4=log4(2x+),
∵2x>0,∴2x+≥2,∴m≥log42=.
故要使方程f(x)=m有解,
m的取值范围为[,+∞).…
知识点:基本初等函数I
题型:解答题