綜合與實踐摺紙是一項有趣的活動，同學們小時候都玩過摺紙，可能折過小動物、小花、飛機、小船等，摺紙活動也伴隨着...

問題詳情：

綜合與實踐

摺紙是一項有趣的活動，同學們小時候都玩過摺紙，可能折過小動物、小花、飛機、小船等，摺紙活動也伴隨着我們初中數學的學習在摺紙過程中，我們可以通過研究圖形的*質和運動、確定圖形位置等，進一步發展空間觀念，在經歷藉助圖形思考問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀，摺紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶着數學的眼光來玩一玩摺紙，看看摺疊矩形的對角線之後能得到哪些數學結論．

實踐*作

如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點B′落在矩形ABCD所在平面內，B'C和AD相交於點E，連接B′D．

解決向題

（1）在圖1中，

①B′D和AC的位置關係為　 　；

②將△AEC剪下後展開，得到的圖形是　 ；

（2）若圖1中的矩形變為平行四邊形時（AB≠BC），如圖2所示，結論①和結論②是否成立，若成立，請挑選其中的一個結論加以*，若不成立，請説明理由；

（3）小紅沿對角線摺疊一張矩形紙片，發現所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次摺疊後，得到的仍是軸對稱圖形，則小紅摺疊的矩形紙片的長寬之比為　 　；

拓展應用

（4）在圖2中，若∠B=30°，AB=4，當△AB′D恰好為直角三角形時，BC的長度為　

【回答】

【解答】解：（1）①BD′∥AC．②將△AEC剪下後展開，得到的圖形是菱形；

故*為BD′∥AC，菱形；

（2）①選擇②*如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∴∠ACB′=∠ACB，

∴∠DAC=∠ACB′，

∴AE=CE，

∴△AEC是等腰三角形；

∴將△AEC剪下後展開，得到的圖形四邊相等，

∴將△AEC剪下後展開，得到的圖形四邊是菱形．

②選擇①*如下，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，

∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，

∵B′C=BC，

∴B′C=AD，

∴B′E=DE，

∴∠CB′D=∠ADB′，

∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD

∴∠ADB′=∠DAC，

∴B′D∥AC．

（3）①當矩形的長寬相等時，滿足條件，此時矩形紙片的長寬之比為1：1；∵∠AB′D+∠ADB′=90°，

∴y﹣30°+y=90°，

②當矩形的長寬之比為：1時，滿足條件，此時可以*四邊形ACDB′是等腰梯形，是軸對稱圖形；

綜上所述，滿足條件的矩形紙片的長寬之比為1：1或：1；

（4）∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACB′D是等腰梯形，

∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，

∵△AB′D是直角三角形，

當∠B′AD=90°，AB＞BC時，如圖3中，

設∠ADB′=∠CB′D=y，

∴∠AB′D=y﹣30°，

解得y=60°，

∴∠AB′D=y﹣30°=30°，

∵AB′=AB=4，

∴AD=×4=4，

∴BC=4，

當∠ADB′=90°，AB＞BC時，如圖4，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACB′D是等腰梯形，

∵∠ADB′=90°，

∴四邊形ACB′D是矩形，

∴∠ACB′=90°，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，AB=4，

∴BC=AB=×4=6；

當∠B′AD=90°，AB＜BC時，如圖5，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，

∵∠B=30°，AB′=4，

∴∠AB′C=30°，

∴AE=4，BE′=2AE=8，

∴AE=EC=4，

∴CB′=12，

當∠AB′D=90°時，如圖6，

∵AD=BC，BC=B′C，

∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，

∴四邊形ACDB′是等腰梯形，

∵∠AB′D=90°，

∴四邊形ACDB′是矩形，

∴∠BAC=90°，

∵∠B=30°，AB=4，

∴BC=AB÷=8；

∴已知當BC的長為4或6或8或12時，△AB′D是直角三角形．

故*為：平行，菱形，1：1或：1，4或6或8或12；

【點評】本題考查四邊形綜合題、翻折變換、矩形的*質、等腰梯形的判定和*質、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，本題綜合*比較強，屬於中考壓軸題．

知識點：各地中考

題型：綜合題