1. 如圖,在矩形ABCD中,以BC邊為直徑作半圓O,OE⊥OA交CD邊於點E,對角線AC與半圓O...
問題詳情:
1.
如圖,在矩形ABCD中,以BC邊為直徑作半圓O,OE⊥OA交CD邊於點E,對角線AC與半圓O的另一個交點為P,連接AE. (1)求*:AE是半圓O的切線; (2)若PA=2,PC=4,求AE的長.
【回答】
(1)*:∵在矩形ABCD中,∠ABO=∠OCE=90°, ∵OE⊥OA, ∴∠AOE=90°, ∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°, ∴∠BAO=∠COE, ∴△ABO∽△OCE, ∴=, ∵OB=OC, ∴, ∵∠ABO=∠AOE=90°, ∴△ABO∽△AOE, ∴∠BAO=∠OAE, 過O作OF⊥AE於F, ∴∠ABO=∠AFO=90°, 在△ABO與△AFO中,, ∴△ABO≌△AFO(AAS), ∴OF=OB, ∴AE是半圓O的切線; (2)解:∵AF是⊙O的切線,AC是⊙O的割線, ∴AF2=AP•AC, ∴AF==2, ∴AB=AF=2, ∵AC=6, ∴BC==2, ∴AO==3, ∵△ABO∽△AOE, ∴, ∴=, ∴AE=. 【解析】
(1)根據已知條件推出△ABO∽△OCE,根據相似三角形的*質得到∠BAO=∠OAE,過O作OF⊥AE於F,根據全等三角形的*質得到OF=OB,於是得到AE是半圓O的切線; (2)根據切割線定理得到AF==2,求得AB=AF=2,根據勾股定理得到BC==2,AO==3,根據相似三角形的*質即可得到結論. 本題考查了切線的判定和*質,矩形的*質,相似三角形的判定和*質,全等三角形的判定和*質,正確的作出輔助線是解題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:解答題