如圖所示,在長方體中,,點E是稜上的一個動點,若平面交稜於點,給出下列命題:. ①四稜錐的體積恆為定值;②存在...
問題詳情:
如圖所示,在長方體中,,點E是稜上的一個動點,若平面交稜於點,給出下列命題:.
① 四稜錐的體積恆為定值;
②存在點,使得平面;
③存在唯一的點,使得截面四邊形的周長取得最小值;
④存在無數個點,在稜上均有相應的點,使得平面,也存在無數個點,對稜上任意的點, 直線與平面均相交.
其中真命題的是____________.(填出所有正確*的序號)
【回答】
①②③④
【解析】
【分析】
根據線面平行的判定定理和麪面平行的*質定理,以及錐體的體積公式,即可求解.
【詳解】由題意,可知①中,四稜錐的體積為:
,則和都為定值,所以四稜錐的體積恆為定值;
②中,連接和,當時,利用三垂線定理可得,又由,所以,利用線面垂直的判定定理,即可得到平面,所以是正確的;
③中,根據稜柱的結構特質,可知四邊形為平行四邊形,設,
則,令,則,
所以四邊形的周長為
,
當時,周長有最小值,即當為的中點時,周長取得最小值,所以正確;
④中,在AD任取一點G,過點G作,可*得,利用線面平行的判定定理可得平面平面,所以平面,所以是正確的.
故正確的命題序號為①②③④.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:填空題