在平面直角座標系中,點 A(-2,0),B(2,0),C(0,2),點 D,點E分別是 AC,BC的中點,將△...
問題詳情:
在平面直角座標系中,點 A(-2,0),B(2,0),C(0,2),點 D,點E分別是 AC,BC的中點,將△CDE繞點C逆時針旋轉得到△CD′E′,旋轉角為α,連接 AD′,BE′. (Ⅰ)如圖①,若 0°<α<90°,當 AD′∥CE′時,求α的大小; (Ⅱ)如圖②,若 90°<α<180°,當點 D′落在線段 BE′上時,求 sin∠CBE′的值; (Ⅲ)若直線AD′與直線BE′相交於點P,求點P的橫座標m的取值範圍.
【回答】
解:(Ⅰ)如解圖①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),
∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,
∵△CD′E′是△CDE旋轉得到的,
∴∠D′CE′=90°, ∵AD′∥CE′,∴∠AD′C=∠D′CE′=90°,
∵D為AC的中點,∴CD=AC,
∵CD=CD′,∴CD′=AC, 在Rt△ACD′中,cosα==, ∴α=60°; (Ⅱ)設F為D′E′的中點,連接CF,如解圖②,
∵CD′=CE′,∠E′CD′=90°,
∴CF⊥BE′,CF=D′E′=1, 又∵BC==2, ∴在Rt△BCF中,sin∠CBE′=; (Ⅲ)如解圖③中,以C為圓心,CD′為半徑作⊙C,當BE′與⊙C相切時AP最長,則四邊形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB於H. ∵CD′=CD=AC=,
∴⊙C的半徑為,
∵在Rt△ACD′中,AD′=,
∴AP=AD′+PD′=+, ∵cos∠PAB=,∴AH=2+, ∴點P橫座標的最大值為. 如解圖④中,當BE′與⊙C相切時AP最短,則四邊形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB於H. 根據對稱*可知OH=, ∴點P橫座標的最小值為-, ∴點P橫座標的取值範圍為-≤m≤.
圖① 圖②
圖③ 圖④
知識點:圖形的旋轉
題型:綜合題