定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱...
問題詳情：
定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點
（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，若AM=3，MN=4求BN的長；
（2）已知點C是線段AB上的一定點，其位置如圖2所示，請在BC上畫一點D，使C，D是線段AB的勾股分割點（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）
（3）如圖3，正方形ABCD中，M，N分別在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分別交BD於E，F
求*：①E、F是線段BD的勾股分割點；
②△AMN的面積是△AEF面積的兩倍．
【回答】
∵點M，N是線段AB的勾股分割點，
∴BM=
=
=
，
②當BN為最大線段時，
∵點M，N是線段AB的勾股分割點，
∴BN=
=
=5，
綜上，BN=
或5；
（2）作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分線，並截取CF=CA；
③連接BF，並作BF的垂直平分線，交AB於D；[來源:]
點D即為所求；如圖2所示．
（3）①如圖3中，將△ADF繞點A順時針*質90°得到△ABH，連接HE．
∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
∵EA=EA，AH=AF，
∴△EAH≌△EAF，
∴EF=HE，
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，
∴∠HBE=90°，
在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，
∵BH=DF，EF=HE，
∵EF2=BE2+DF2，
∴E、F是線段BD的勾股分割點．
②*：如圖4中，連接FM，EN．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，
∴△AFE∽△D
FN，
∴∠AEF=∠DNF，
=
，
∴
=
，∵∠AFD=∠EFN，
∴△AFD∽△EFN，
∴∠DAF=∠FEN，
∵∠DAF+∠DNF=90°，
∴∠AEF+∠FEN=90°，
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM=
AF，AN=
AE，
∵S△AMN=
AM•AN•sin45°，
S△AEF=
AE•AF•sin45°，
∴
=
=2，
∴S△AMN=2S△AEF．
知識點：圖形的旋轉
題型：綜合題
