若存在常數、、，使得無窮數列滿足則稱數列為“段比差數列”，其中常數、、分別叫做段長、段比、段差.設數列為“段比...
問題詳情：
若存在常數
、
、
，使得無窮數列
滿足
則稱數列
為“段比差數列”，其中常數
、、分別叫做段長、段比、段差. 設數列
為“段比差數列”.
（1）若
的首項、段長、段比、段差分別為1、3、
、3.
①當
時，求
；
②當
時，設的前
項和為
，若不等式
對
恆成立，求實數
的取值範圍；
（2）設為等比數列，且首項為
，試寫出所有滿足條件的
，並説明理由.
【回答】
．（1）①方法一：∵
的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3，
，
，
. ……………3分
方法二：∵
的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3，
∴
，
，
，
，
，
，
，…
∴當
時，是週期為3的週期數列.
∴
. ……………3分
②方法一：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3，
∴
，
∴
是以為首項、6為公差的等差數列，
又
，
， ……………6分
，
，設
，則
，
又
，
當
時，
，
；當
時，
，
，
∴
，∴
， ……………9分
∴
，得
. ……………10分
方法二：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3，
∴
，∴
，∴
是首項為
、公差為6的等差數列，
∴
，
易知中刪掉
的項後按原來的順序構成一個首項為1公差為3的等差數列，
，
， ………………6分
以下同方法一.
（2）方法一：設
的段長、段比、段差分別為
、
、
，
則等比數列的公比為
，由等比數列的通項公式有
，
當
時，
，即
恆成立， ……………12分
①若
，則
，
；
②若
，則
，則
為常數，則
，
為偶數，
，
；
經檢驗，滿足條件的的通項公式為或. ……………16分
方法二：設的段長、段比、段差分別為
、
、
，
①若
，則
，
，
，
，
由
，得
；由
，得
，
聯立兩式，得
或
，則
或
，經檢驗均合題意. …………13分
②若
，則
，
，
，
由，得
，得
，則，經檢驗適合題意.
綜上①②，滿足條件的的通項公式為
或
. …
知識點：數列
題型：解答題
