如圖,在□ABCD中,E為對角線AC上一點,連接DE,作EF⊥DE,交AD於點F,G為AD邊上一點,且AB=A...
問題詳情:
如圖,在□ABCD中,E為對角線AC上一點,連接DE,作EF⊥DE,交AD於點F,G為AD邊上一點,且AB=AG,連接GE.
(1)如圖1,若點G為DF的中點,AF=2,EG=4,∠B=60°,求AC的長;
(2)如圖2,連接CG交DE於點H,若EG∥CD,∠ACB=∠DCG,求*:∠ECG=2∠AEF.
【回答】
(1)AC=;(2)見解析.
【解析】
(1)過點C作CH⊥AD,交AD於點H,根據直角三角形斜邊上的中線的*質得到FD和EG的長,即可得到AD的長,然後通過含有30°角的直角三角形的*質和勾股定理即可求出AC的長;
(2)根據平行四邊形和∠ACB=∠DCG得到∠DAC=∠DCG,再根據全等三角形的判定和*質,三角形的外角*質,等邊對等角及平行線的*質*兩角的倍數關係.
【詳解】
(1)如圖,過點C作CH⊥AD,交AD於點H,
∵EF⊥DE,
∴△FED是直角三角形,
又G是斜邊FD的中點,
∴FD=2EG=2×4=8,EG=FG=4,
∴AD=AF+FD=2+8=10,
∵AG=AF+GF,
∴AG=2+4=6,
∴CD=AB=AG=6,
∵∠B=60°,
∴∠HDC=60°,
在Rt△AHC中,HD=CD=3,
HC=HD=3,
∵AH=AD﹣HD=10﹣3=7,
在Rt△AHC中,AH2+HC2=AC2,
∴AC===2;
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC,
∵∠ACB=∠DCG,
∴∠DAC=∠DCG,
∵AB=AG,
∴CD=AG,
∵EG∥CD,
∴∠AGE=∠ADC,∠DCG=∠EGC,
在△AEG和△CGD中,
∴△AEG≌△CGD(ASA),
∴AE=CG,GE=DG,
∴∠GED=∠GDE,
∵EF⊥ED,
∴∠FED=90°,
∴∠GED+∠FEG=90°,
∴∠GDE+∠DFE=90°,
∴∠FEG=∠DFE,
又∠GCD=∠EGC=∠DAC,
在EG上截取GM=AF,連接CM,
在△AFE和△GMC中,
,
∴△AFE≌△GMC(SAS),
∴∠AEF=∠GCM,∠AFE=∠GMC,
∴∠DFE=∠EMC,
∵∠FEG=∠DFE,
∴∠FEG=∠EMC,
∴FE∥CM,
∴∠AEF=∠ECM,
∴∠AEF=∠ECM=∠GCM,
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=2∠AEF.
【點睛】
本題考查了直角三角形的*質、三角形的外角的*質、平行四邊形的*質、全等三角形的判定和*質等知識點,具有一定的綜合*與難度.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題