已知定義在R上的函數f(x),若對於任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1...
問題詳情:
已知定義在R上的函數f(x),若對於任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),那麼函數f(x)稱為“Ω函數”.給出下列函數:
①f(x)=cosx;
②f(x)=2x;
③f(x)=x|x|;
④f(x)=ln(x2+1).
其中“Ω函數”的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
B【考點】函數單調*的*質.
【專題】函數思想;綜合法;函數的*質及應用.
【分析】根據條件可以得到,對於任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,從而得出f(x)在R上為增函數,這樣根據餘弦函數,指數函數,二次函數,以及對數函數,複合函數的單調*判斷每個函數在R上的單調*,從而便可得出“Ω函數”的個數.
【解答】解:對於任意x1,x2∈R,且x1≠x2,x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恆成立;
∴(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0恆成立;
∴f(x)在R上為增函數;
①f(x)=cosx在R上沒有單調*,∴該函數不是“Ω函數”;
②f(x)=2x在R上為增函數,∴該函數是“Ω函數”;
③;
∴f(x)在[0,+∞)上單調遞增,在(﹣∞,0)上單調遞增,且02=﹣02;
∴f(x)在R上為增函數,∴該函數是“Ω函數”;
④令x2+1=t,t≥1,則y=lnt在[1,+∞)上單調遞增,而t=x2+1在R上沒有單調*;
∴f(x)在R上沒有單調*,∴該函數不是“Ω函數”;
∴“Ω函數”的個數是2.
故選:B.
【點評】考查增函數的定義,餘弦函數、指數函數、二次函數,以及對數函數和複合函數的單調*,含絕對值函數的處理方法:去絕對值號,分段函數單調*的判斷.
知識點:基本初等函數I
題型:選擇題