如圖拋物線y＝―x2＋bx＋c與直線AB交於A(―4，―4)，B(0，4)兩點，直線AC：y＝―x―6交y軸與...

問題詳情：

如圖拋物線y＝―x2＋bx＋c與直線AB交於A(―4，―4)，B(0，4)兩點，直線AC：y＝―x―6交y軸與點C，點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC於點F，交拋物線於點G.

(1)求拋物線的表達式；

(2)連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的座標；

(3) 在⑵的前提下，y軸上是否存在一點H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此時點H的座標，如果不存在，請説明理由．

【回答】

（1）∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4；                       2分

（2）設直線AB的解析式為y=kx+n過點A，B，

∴      ，     ∴ ，

∴直線AB的解析式為y=2x+4，

設E（m，2m+4），則G為（m，―m2―2m+4）

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴EG=OB=4，

∴―m2―2m+4―2m―4=4，

∴m=―2，

∴G（―2，4）                                              6分

⑶存在存在點H滿足題意，設點H為（0，y）

由⑵知，E（―2，0），F（―2，―5），

得EF中點M座標為（―2，―2.5），

∵AB2+AC2=100，BC2=100，即AB2+AC2= BC2

∴AB⊥AC                                                

∴點M為△AEF外接圓的圓心，

∵∠AHF＝∠AEF

∴點H在⊙M上，[來源:學+科+網]

∴MH=EM

∴  22+（y+2.5）2=2.52

∴y1=―1，y2=―4，

∴當點H座標為（0，―1）或（0，―4）時∠AHF＝∠AEF．      10分[來源:學科網ZXXK]

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題