已知點動點滿足直線與的斜率之積為.記的軌跡為曲線.1.求的方程，並説明是什麼曲線；2.過座標原點的直線交於兩點...

問題詳情：

已知點動點滿足直線與的斜率之積為.記的軌跡為曲線.

1.求的方程，並説明是什麼曲線；

2.過座標原點的直線交於兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結並延長交於點.

（i）*：是直角三角形；

（ii）求面積的最大值.

【回答】

1.由題設得，化簡得，所以為中心在座標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點．

2.（i）設直線的斜率為，則其方程為．

由得．

記，則．

於是直線的斜率為，方程為．

由得

．①

設，則和是方程①的解，故，由此得．

從而直線的斜率為．

所以，即是直角三角形．

（ii）由（i）得，，

所以△PQG的面積．

設，則由得，若且唯若時取等號．

因為在單調遞減，所以當，即時，取得最大值，最大值為．

因此，面積的最大值為．

知識點：圓與方程

題型：綜合題