如圖，已知動直線l過點，且與圓O：x2+y2=1交於A、B兩點．（1）若直線l的斜率為，求△OAB的面積；（2...
問題詳情：
如圖，已知動直線l過點
，且與圓O：x2+y2=1交於A、B兩點．
（1）若直線l的斜率為
，求△OAB的面積；
（2）若直線l的斜率為0，點C是圓O上任意一點，求CA2+CB2的取值範圍；
（3）是否存在一個定點Q（不同於點P），對於任意不與y軸重合的直線l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定點Q的座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
【考點】J9：直線與圓的位置關係．
【分析】（1）因為直線l的斜率為
，所以直線l
，利用弦長、半徑、弦心距的關係，求得弦長及△OAB的高，即可求出面積．
（2）因為直線l的斜率為0，所以可知
、
，設點C（x，y），則x2+y2=1，又
=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，
即可得CA2+CB2的取值範圍．
（3）法一：若存在，則根據對稱*可知，定點Q在y軸上，設Q（0，t）、又設A（x1，y1）、B（x2，y2），因直線l不與y軸重合，設直線l
，代入圓O得
，所以
（*） 由AQ與BQ的斜率互為相反數，可得
，即求得t；
解法二：若PQ平分∠AQB，則根據角平分線的幾何意義，點A到y軸的距離d1，點B到y軸的距離d2滿足
，即
，化簡可得
，同時求得t．
【解答】解：（1）因為直線l的斜率為
，所以直線l
，
則點O到直線l的距離
，…
所以弦AB的長度
，
所以
．…
（2）因為直線l的斜率為0，所以可知、，…
設點C（x，y），則x2+y2=1，
又，…
所以CA2+CB2=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，
所以CA2+CB2的取值範圍是[2，6]．…
（3）法一：若存在，則根據對稱*可知，定點Q在y軸上，設Q（0，t）、又設A（x1，y1）、B（x2，y2），
因直線l不與y軸重合，設直線l
，…
代入圓O得，
所以
（*） …
若PQ平分∠AQB，則根據角平分線的定義，AQ與BQ的斜率互為相反數
有
，又
，
，
化簡可得，…
代入（*）式得
，因為直線l任意，故
，
即t=2，即Q（0，2）…
解法二：若存在，則根據對稱*可知，定點Q在y軸上，設Q（0，t）、又設A（x1，y1）、B（x2，y2），
因直線l不與y軸重合，設直線l
，…
代入圓O得
，
所以
（*） …
若PQ平分∠AQB，則根據角平分線的幾何意義，點A到y軸的距離d1，點B到y軸的距離d2滿足
，即
，
化簡可得
，…
代入（*）式得
，因為直線l任意，故
，
即t=2，即Q（0，2）…
知識點：圓與方程
題型：解答題
