如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,點P是圓外一點,PA切⊙O於點A,且PA=PB.(1)求*...
問題詳情:
如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,點P是圓外一點,PA切⊙O於點A,且PA=PB.
(1)求*:PB是⊙O的切線;
(2)已知PA=,BC=1,求⊙O的半徑.
【回答】
(1)*:連結OB.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.
∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA,即∠PAO=∠PBO………………………2分
又∵PA是⊙O的切線,∴∠PAO=90°,
∴∠PBO=90°,∴OB⊥PB.………………………………………………4分
又∵OB是⊙O半徑,∴PB是⊙O的切線.……………………………………5分
(2)解:連結OP,交AB於點D.
∵PA=PB,∴點P在線段AB的垂直平分線上.
∵OA=OB,∴點O在線段AB的垂直平分線上.
∴OP垂直平分線段AB.…………………………………………………………7分
∴∠PAO=∠PDA=90°.
又∵∠APO=∠DPA,∴△APO∽△DPA.
∴,∴AP2=PO·DP.
又∵OD=BC=,∴ PO(PO-OD)=AP2
即:PO 2一PO=()2,解得PO=2. ………………………………9分
在Rt△APO中,OA= =1,即⊙O 的半徑為l…………10分
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題