（2013•泰州）已知：關於x的二次函數y=-x2+ax（a＞0），點A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（...

問題詳情：

（2013•泰州）已知：關於x的二次函數y=-x2+ax（a＞0），點A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在這個二次函數的圖象上，其中n為正整數．（1）y1=y2，請説明a必為奇數；（2）設a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；（3）對於給定的正實數a，是否存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代數式表示）；如果不存在，請説明理由．
試題*
練習冊*
在線課程
分析：（1）將點A和點B的座標代入二次函數的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到*；（2）將a=11代入解析式後，由題意列出不等式組，求得此不等式組的正整數解；（3）本問為存在型問題．如解答圖所示，可以由三角形全等及等腰三角形的*質，判定點B為拋物線的頂點，點A、C關於對稱軸對稱．於是得到n+1=

a

2

，從而可以求出n=

a

2

-1．
解答：解：（1）∵點A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函數y=-x2+ax（a＞0）的圖象上，∴y1=-n2+an，y2=-（n+1）2+a（n+1）∵y1=y2，∴-n2+an=-（n+1）2+a（n+1）整理得：a=2n+1∴a必為奇數；（2）當a=11時，∵y1≤y2≤y3∴-n2+11n≤-（n+1）2+11（n+1）≤-（n+2）2+11（n+2）化簡得：0≤10-2n≤18-4n，解得：n≤4，∵n為正整數，∴n=1、2、3、4．（3）假設存在，則BA=BC，如右圖所示．過點B作BN⊥x軸於點N，過點A作AD⊥BN於點D，CE⊥BN於點E．∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，∴AD=CE=1．在Rt△ABD與Rt△CBE中，

AB=BC AD=CE

，∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．∴∠ABD=∠CBE，即BN為頂角的平分線．由等腰三角形*質可知，點A、C關於BN對稱，∴BN為拋物線的對稱軸，點B為拋物線的頂點，∴n+1=

a

2

，∴n=

a

2

-1．∴a為大於2的偶數，存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，n=

a

2

-1．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，涉及二次函數的圖象與*質、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知識點，有一定的難度，是一道好題．

【回答】

分析：（1）將點A和點B的座標代入二次函數的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到*；（2）將a=11代入解析式後，由題意列出不等式組，求得此不等式組的正整數解；（3）本問為存在型問題．如解答圖所示，可以由三角形全等及等腰三角形的*質，判定點B為拋物線的頂點，點A、C關於對稱軸對稱．於是得到n+1=

a

2

，從而可以求出n=

a

2

-1．
解答：解：（1）∵點A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函數y=-x2+ax（a＞0）的圖象上，∴y1=-n2+an，y2=-（n+1）2+a（n+1）∵y1=y2，∴-n2+an=-（n+1）2+a（n+1）整理得：a=2n+1∴a必為奇數；（2）當a=11時，∵y1≤y2≤y3∴-n2+11n≤-（n+1）2+11（n+1）≤-（n+2）2+11（n+2）化簡得：0≤10-2n≤18-4n，解得：n≤4，∵n為正整數，∴n=1、2、3、4．（3）假設存在，則BA=BC，如右圖所示．過點B作BN⊥x軸於點N，過點A作AD⊥BN於點D，CE⊥BN於點E．∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，∴AD=CE=1．在Rt△ABD與Rt△CBE中，

AB=BC AD=CE

，∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．∴∠ABD=∠CBE，即BN為頂角的平分線．由等腰三角形*質可知，點A、C關於BN對稱，∴BN為拋物線的對稱軸，點B為拋物線的頂點，∴n+1=

a

2

，∴n=

a

2

-1．∴a為大於2的偶數，存在n，使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形，n=

a

2

-1．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，涉及二次函數的圖象與*質、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知識點，有一定的難度，是一道好題．

知識點：

題型：