平面直角座標系中，有A、B、C三點，其中A為原點，點B和點C的座標分別為（5，0）和（1，2）．（1）*：△...

問題詳情：

平面直角座標系中，有A、B、C三點，其中A為原點，點B和點C的座標分別為（5，0）和（1，2）．

（1）*：△ABC為Rt△．

（2）請你在直角座標系中找一點D，使得△ABC與△ABD相似，寫出所有滿足條件的點D的座標，並在同一座標系中畫出所有符合要求的三角形．

（3）在第（2）題所作的圖中，連接任意兩個直角三角形（包括△ABC）的直角頂點均可得到一條線段，在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，求取到長度為無理數的線段的概率．

【回答】

【考點】相似形綜合題；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式．

【專題】綜合題；分類討論．

【分析】（1）過點C作CH⊥x軸於H，如圖1，只需運用勾股定理求出AB2、AC2、BC2，然後運用勾股定理的逆定理就可解決問題；

（2）△ABC與△ABD相似，對應關係不確定，故需分六種情況（①若△ABC∽△ABD，②若△ABC∽△BAD，③若△ABC∽△ADB，④若△ABC∽△DAB，⑤若△ABC∽△BDA，⑥若△ABC∽△DBA）討論，然後運用相似三角形的*質就可解決問題；

（3）圖中的直角三角形的直角頂點有A、B、C、D1、D2、D3，只需求出任意兩直角頂點的連線段的條數和長度為無理數的線段的條數，就可解決問題．

【解答】解：（1）過點C作CH⊥x軸於H，如圖1，

∵A（0，0），B（5，0），C（1，2），

∴AC2=12+22=5，BC2=（5﹣1）2+22=20，AB2=52=25，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC為Rt△；

（2）①若△ABC∽△ABD，則有D1（1，﹣2）；

②若△ABC∽△BAD，則有D2（4，﹣1），D3（4，1）；

③若△ABC∽△ADB，則有D4（5，﹣10），D5（5，10）；

④若△ABC∽△DAB，則有D6（5，﹣2.5），D7（5，2.5）；

⑤若△ABC∽△BDA，則有D8（0，﹣10），D9（0，10）；

⑥若△ABC∽△DBA，則有D10（0，﹣2.5），D11（0，2.5）；

所有符合要求的三角形如圖所示．

（3）圖中的直角三角形的直角頂點有A、B、C、D1、D2、D3．

任意兩直角頂點的連線段共有=15條，

其中AB=5，CD1=D2D3=4，CD2=D1D3=5，CD3=D1D2=3，

故長度為有理數的線段共7條，長度為無理數的線段共8條，

則取到長度為無理數的線段的概率為p=．

知識點：相似三角形

題型：綜合題