如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH(HF∥DE,∠HDE=90°)的...
問題詳情:
如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH(HF∥DE,∠HDE=90°)的底邊DE落在CB上,腰DH落在CA上,且DE=4,∠DEF=∠CBA,AH∶AC=2∶3
(1)延長HF交AB於G,求△AHG的面積.
(2)*作:固定△ABC,將直角梯形DEFH以每秒1個單位的速度沿CB方向向右移動,直到點D與點B重合時停止,設運動的時間為t秒,運動後的直角梯形為DEFH′(如圖12).
探究1:在運動中,四邊形CDH′H能否為正方形?若能, 請求出此時t的值;若不能,請説明理由.
探究2:在運動過程中,△ABC與直角梯形DEFH′重疊部分的面積為y,求y與t的函數關係.
【回答】
解:(1)∵AH∶AC=2∶3,AC=6
∴AH=AC=×6=4
又∵HF∥DE,∴HG∥CB,∴△AHG∽△ACB
∴=,即=,
∴HG=
∴S△AHG=AH・HG=×4×=
(2)①能為正方形
∵HH′∥CD,HC∥H′D,∴四邊形CDH′H為平行四邊形
又∠C=90°,∴四邊形CDH′H為矩形
又CH=AC-AH=6-4=2
∴當CD=CH=2時,四邊形CDH′H為正方形
此時可得t=2秒時,四邊形CDH′H為正方形
②(Ⅰ)∵∠DEF=∠ABC,∴EF∥AB
∴當t=4秒時,直角梯形的腰EF與BA重合.當0≤t≤4時,重疊部分的面積為直角梯形DEFH′的面積.
過F作FM⊥DE於M,=tan∠DEF=tan∠ABC===
∴ME=FM=×2=,HF=DM=DE-ME=4-=
∴直角梯形DEFH′的面積為(4+)×2=
∴y=
(Ⅱ)∵當4<t≤5時,重疊部分的面積為四邊形CBGH的面積-矩形CDH′H的面積.
而S邊形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=
S矩形CDH′H=2t
∴y=-2t
(Ⅲ)當5<t≤8時,如圖,設H′D交AB於P.
BD=8-t
又=tan∠ABC=
∴PD=DB=(8-t) ∴重疊部分的面積y=S
△PDB=PD・DB
=・(8-t)(8-t)
=(8-t)2=t2-6t+24
∴重疊部分面積y與t的函數關係式:
y=(0≤t≤4)
-2t(4<t≤5)
t2-6t+24(5<t≤8)
知識點:各地中考
題型:未分類