如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊）...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C，D在拋物線上．設A（t，0），當t=2時，AD=4．

（1）求拋物線的函數表達式．

（2）當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線．當平移後的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．

【回答】

【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=ax（x﹣10），

∵當t=2時，AD=4，

∴點D的座標為（2，4），

∴將點D座標代入解析式得﹣16a=4，

解得：a=﹣，

拋物線的函數表達式為y=﹣x2+x；

（2）由拋物線的對稱*得BE=OA=t，

∴AB=10﹣2t，

當x=t時，AD=﹣t2+t，

∴矩形ABCD的周長=2（AB+AD）

=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]

=﹣t2+t+20

=﹣（t﹣1）2+，

∵﹣＜0，

∴當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為；

（3）如圖，

當t=2時，點A、B、C、D的座標分別為（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），

∴矩形ABCD對角線的交點P的座標為（5，2），

當平移後的拋物線過點A時，點H的座標為（4，4），此時GH不能將矩形面積平分；

當平移後的拋物線過點C時，點G的座標為（6，0），此時GH也不能將矩形面積平分；

∴當G、H中有一點落在線段AD或BC上時，直線GH不可能將矩形的面積平分，

當點G、H分別落在線段AB、DC上時，直線GH過點P，必平分矩形ABCD的面積，

∵AB∥CD，

∴線段OD平移後得到的線段GH，

∴線段OD的中點Q平移後的對應點是P，

在△OBD中，PQ是中位線，

∴PQ=OB=4，

所以拋物線向右平移的距離是4個單位．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題