[2012·福建卷]如圖1-3所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M為稜...
問題詳情:
[2012·福建卷] 如圖1-3所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M為稜DD1上的一點.
(1)求三稜錐A-MCC1的體積;
(2)當A1M+MC取得最小值時,求*:B1M⊥平面MAC.
圖1-3
【回答】
解:(1)由長方體ABCD-A1B1C1D1知,
AD⊥平面CDD1C1,
∴點A到平面CDD1C1的距離等於AD=1,
又S△MCC1=CC1×CD=×2×1=1,
∴VA-MCC1=AD·S△MCC1=.
(2)將側面CDD1C1繞DD1逆時針轉90°展開,與側面ADD1A1共面(如圖),
當A1,M,C共線時,A1M+MC取得最小值.
由AD=CD=1,AA1=2,得M為DD1中點.
連接C1M,在△C1MC中,MC1=,MC=,CC1=2.
∴CC=MC+MC2,得∠CMC1=90°,即CM⊥MC1.
又由長方體ABCD-A1B1C1D1知,B1C1⊥平面CDD1C1,∴B1C1⊥CM.
又B1C1∩C1M=C1,∴CM⊥平面B1C1M,得CM⊥B1M;
同理可*,B1M⊥AM,
又AM∩MC=M,∴B1M⊥平面MAC.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題