.已知非常數函數的定義域為，如果存在正數，使得，都有恆成立，則稱函數具有*質T.（Ⅰ）判斷下列函數是否具有*質...

問題詳情：

.已知非常數函數的定義域為，如果存在正數，使得，都有恆成立，則稱函數具有*質T.

（Ⅰ）判斷下列函數是否具有*質T ？並説明理由;

①    ；②.

（Ⅱ）若函數具有*質T，求的最小值;

（Ⅲ）設函數具有*質T，且存在，使得，都有成立，求*：是周期函數.

【回答】

【詳解】（Ⅰ）函數不具有*質T，函數具有*質T.理由如下：

①假設函數具有*質T，即存在正數，使得恆成立.

則 對恆成立.

所以 此方程組無解，與存在正數矛盾.

所以 函數不具有*質T.

②取，則，

即對恆成立.

所以 函數具有*質T.

（Ⅱ）因為函數具有*質T，

 所以存在正數，使得，都有恆成立.

令，則對恆成立.

若，取，則，矛盾；

若，取，則，即，矛盾；

所以

則 若且唯若時，對恆成立.

因為 ，      所以 .

所以 當時，函數具有*質T.

所以 的最小值是.

（Ⅲ）因為 函數具有*質T，

所以 存在正數，使得，恆成立.

所以 ，以此類推可得.

用代替，可得

因為 不是常數函數，

所以 存在，使得.

若，則.             

所以 .

因為 存在，使得，都有成立，

取，則，矛盾.

若，則.         

同上可知存在，使得，矛盾.

所以 .

所以對，.

所以是週期為1的函數.

知識點：三角函數

題型：綜合題