如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5經過A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)兩點,與x軸的另一個交點為C,頂點為D...
問題詳情:
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5經過A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)兩點,與x軸的另一個交點為C,頂點為D,連結CD.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)點P為該拋物線上一動點(與點B、C不重合),設點P的橫座標為t.
①當點P在直線BC的下方運動時,求△PBC的面積的最大值;
②該拋物線上是否存在點P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有點P的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【解答】解:(1)將點A、B座標代入二次函數表達式得:,解得:,
故拋物線的表達式為:y=x2+6x+5…①,
令y=0,則x=﹣1或﹣5,
即點C(﹣1,0);
(2)①如圖1,過點P作y軸的平行線交BC於點G,
將點B、C的座標代入一次函數表達式並解得:
直線BC的表達式為:y=x+1…②,
設點G(t,t+1),則點P(t,t2+6t+5),
S△PBC=PG(xC﹣xB)=(t+1﹣t2﹣6t﹣5)=﹣t2﹣t﹣6,
∵<0,∴S△PBC有最大值,當t=﹣時,其最大值為;
②設直線BP與CD交於點H,
當點P在直線BC下方時,
∵∠PBC=∠BCD,∴點H在BC的中垂線上,
線段BC的中點座標為(﹣,﹣),
過該點與BC垂直的直線的k值為﹣1,
設BC中垂線的表達式為:y=﹣x+m,將點(﹣,﹣)代入上式並解得:
直線BC中垂線的表達式為:y=﹣x﹣4…③,
同理直線CD的表達式為:y=2x+2…④,
聯立③④並解得:x=﹣2,即點H(﹣2,﹣2),
同理可得直線BH的表達式為:y=x﹣1…⑤,
聯立①⑤並解得:x=﹣或﹣4(捨去﹣4),
故點P(﹣,﹣);
當點P(P′)在直線BC上方時,
∵∠PBC=∠BCD,∴BP′∥CD,
則直線BP′的表達式為:y=2x+s,將點B座標代入上式並解得:s=5,
即直線BP′的表達式為:y=2x+5…⑥,
聯立①⑥並解得:x=0或﹣4(捨去﹣4),
故點P(0,5);
故點P的座標為P(﹣,﹣)或(0,5).
知識點:各地中考
題型:綜合題