已知橢圓C：過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為，（1）求C方程；（2）點N為橢圓上任意一點，求△...
問題詳情：
已知橢圓C：
過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為
，
（1）求C
方程；
（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.
【回答】
（1）
；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；
(2)首先利用幾何關係找到三角形面積最大時點N的位置，然後聯立直線方程與橢圓方程，結合判別式確定點N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.
【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：
，即
.
當y=0時，解得
，所以a=4，
橢圓
過點M(2，3)，可得
，
解得b2=12.
所以C的方程：
.
(2)設與直線AM平行的直線方程為：
，
如圖所示，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時△AMN的面積取得最大值.
聯立直線方程
與橢圓方程
，
可得：
，
化簡可得：
，
所以
，即m2=64，解得m=±8，
與AM距離比較遠的直線方程：
，
直線AM方程為：
，
點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，
利用平行線之間的距離公式可得：
，
由兩點之間距離公式可得
.
所以△AMN的面積的最大值：
.
【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程後的運算能力，重視根與係數之間的關係、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
知識點：高考試題
題型：解答題
