如圖1,在△ABC中,∠ACB為鋭角,點D為*線BC上一點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADE...
問題詳情:
如圖1,在△ABC中,∠ACB為鋭角,點D為*線BC上一點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.(提示:正方形的四條邊都相等,四個角都是直角)
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖2,線段CF、BD所在直線的位置關係為 ,線段CF、BD的數量關係為 ;
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖3,①中的結論是否仍然成立,並説明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是鋭角,點D在線段BC上,當∠ACB滿足 條件時,CF⊥BC(點C、F不重合),不用説明理由.
【回答】
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)①*△BAD≌△CAF,可得:BD=CF,∠B=∠ACF=45°,則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,所以BD與CF相等且垂直;
②①的結論仍成立,同理*△DAB≌△FAC,可得結論:垂直且相等;
(2)當∠ACB滿足45°時,CF⊥BC;如圖4,作輔助線,*△QAD≌△CAF,即可得出結論.
【解答】解:(1)①CF與BD位置關係是垂直,數量關係是相等,理由是:
如圖2,∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∴∠DAC+∠CAF=90°,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°,且∠B=∠ACB=45°,
∴∠CAF=∠BAD,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,∠B=∠ACF=45°,
∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
即∠BCF=90°,
∴BC⊥CF,
即BD⊥CF;
故*為:垂直,相等;
②當點D在BC的延長線上時,①的結論仍成立,理由是:
如圖3,由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=∠ABC=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD;
(2)當∠BCA=45°時,CF⊥BD,理由是:
如圖4,過點A作AQ⊥AC,交BC於點Q,
∵∠BCA=45°,
∴∠AQC=45°,
∴∠AQC=∠BCA,
∴AC=AQ,
∵AD=AF,∠QAC=∠DAF=90°,
∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,
∴∠QAD=∠CAF,
∴△QAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AQD=45°,
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD.
【點評】本題是四邊形的綜合題,考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的*質和判定,本題的三個結論都是*三角形全等得出,所以利用SAS*三角形全等是本題的關鍵;第(2)問,恰當地作輔助線,構建等腰直角三角形,同樣也是構建兩個三角形全等得出結論.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:綜合題