已知∠AOB＝120°，點P為*線OA上一動點（不與點O重合），點C為∠AOB內部一點，連接CP，將線段CP繞...

問題詳情：

已知∠AOB＝120°，點P為*線OA上一動點（不與點O重合），點C為∠AOB內部一點，連接CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，且點Q恰好落在*線OB上，不與點O重合．

（1）依據題意補全圖1；

（2）用等式表示∠CPO與∠CQO的數量關係，並*；

（3）連接OC，寫出一個OC的值，使得對於任意點P，總有OP+OQ＝4，並*．

【回答】

（1）詳見解析；（2）∠CQO+∠CPO＝180°，詳見解析；（3）OC＝4時，對於任意點P，總有OP+OQ＝4，詳見解析.

【分析】

（1）根據題意補全圖形即可； （2）根據四邊形內角和為360°可得*； （3）連接OC，在*線OA上取點D，使得DP=OQ，連接CD，首先*△COQ≌△CDP，然後△COD為等邊三角形，進而可得*．

【詳解】

（1）補圖如圖1：

（2）∠CQO+∠CPO＝180°，

理由如下：∵四邊形內角和360°，

且∠AOB＝120°，∠PCQ＝60°，

∴∠CQO+∠CPO＝∠1+∠2＝180°．

（3）OC＝4時，對於任意點P，總有OP+OQ＝4．

*：連接OC，在*線OA上取點D，使得DP＝OQ，連接CD．

∴OP+OQ＝OP+DP＝OD．

∵∠1+∠2＝180°，

∵∠2+∠3＝180°，

∴∠1＝∠3．

∵CP＝CQ，

在△CQO和△CPD中

，

∴△COQ≌△CDP（SAS）．

∴∠4＝∠6，OC＝CD．

∵∠4+∠5＝60°，

∴∠5+∠6＝60°．

即∠OCD＝60°．

∴△COD是等邊三角形．

∴OC＝OD＝OP+OQ＝4．

【點睛】

此題主要考查了全等三角形的判定與*質以及等邊三角形的判定，關鍵是正確畫出圖形，掌握等邊三角形的判定和*質．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題