某製造商製造並出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的製造成本是0.8πr2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑．已知每...

問題詳情：

某製造商製造並出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的製造成本是0.8πr2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑．已知每出售1 mL的飲料，製造商可獲利0.2分，且製造商能製作的瓶子的最大半徑爲6 cm.則瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？

【回答】

解　由於瓶子的半徑爲r，所以每瓶飲料的利潤是

y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2

＝0.8π，0<r≤6.

令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.

當r＝2時，f′(r)＝0.

當r∈(0,2)時，f′(r)<0；

當r∈(2,6)時，f′(r)>0.

因此，當半徑r>2時，f′(r)>0，它表示f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；半徑r<2時，f′(r)<0，它表示f(r)單調遞減，即半徑越大，利潤越低．

∴半徑爲2 cm時，利潤最小，這時f(2)<0，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．

半徑爲6 cm時，利潤最大．

知識點：導數及其應用

題型：解答題