問題情境:已知AC是正方形ABCD的對角線，將正方形PQST和正方形ABCD按如圖放置.(1)如圖1，使點P與...

問題詳情：

問題情境:

已知AC是正方形ABCD的對角線，將正方形PQST和正方形ABCD按如圖放置.

(1)如圖1，使點P與點A重合，PT與DC相交與點E, PQ與CB的延長線相交於點F.求*: AF=AE

(2)如圖2，使點P在AC上(A, C兩點除外)，PT與DC相交與點E, PQ與CB的延長線相交與點F.判斷PE和PF的數量關係，並說明理由.

拓廣探索:

(3)   如圖3，使P在BC上(B，C兩點除外), PT經過點A, PQ與正方形ABCD的外角∠DCK的平分線CE相交與點E.判斷PA和PE的數量關係，並說明理由.

【回答】

考點：正方形與全等三角形綜合

*：見解析

解析:( 1 )手拉手全等可以*MDE≌ABF(AS)

AF=AE

(2)PE=PF ,理由如下:

過點P作PG⊥DC於點G,作PH⊥BC於點H

四邊形PQST是正方形

∠QPT= 90°

四邊形ABCD是正方形

CP平分∠DCB，∠BCD= 90°

又PG⊥DC於點G，PH⊥BC於點H

PG= PH

PG⊥DC，PH⊥BC

∠PGC=90°，∠PHC= 90°

在四邊形PHCG中，∠PGC=90°，∠PHC=90°，∠GCH = 90°

∠GPH= 360°-∠PGC-∠GCH- ∠PHC= 360°- 90°- 90°- 90°= 90°

∠GPE+∠EPH =90°

∠QPT= 90°

∠EPH+∠HPF = 90°

∠GPE=∠HPF

PGE≌PHF( ASA)

PE= PF

(3)PA=PE ,理由如下:

在BA上取點M使得BM=BP,連接PM

四邊形PQST是正方形

∠QPT= 90°

∠CPE+∠BPA= 90° .

四邊形ABCD是正方形

AB=BC，∠B=90°，∠ BCD= 90°

在ABP中∠B=90°，∠BAP+∠BPA=90°

∠CPE=∠B4P

AB=BC，BM=BP

AB-BM= BC- BP即AM= PC .

∠B=90°，BM=BP

BMP是等腰直角三E角形，∠BMP= 45°

∠AMP=180°-∠BMP= 180°- 45°= 135°

CE平分∠DCK

∠DCE=∠DCK=45° .

∠PCE=∠PCD+∠DCE=90° +45°= 135°

∠AMP=∠PCE

∠CPE=∠BAP，AM=PC，∠AMP=∠PCE

AMP≌PCE(ASA)

PA=PE

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題