如圖，正方形ABCD的邊長爲2，點E在邊AD上（不與A、D重合），點F在邊CD上，且∠EBF=45°．△ABE...

問題詳情：

如圖，正方形ABCD的邊長爲2，點E在邊AD上（不與A、D重合），點F在邊CD上，且∠EBF=45°．△ABE的外接圓O與BC、BF分別交於點G、H．

（1）在圖1中作出圓O，並標出點G和點H；

（2）若EF∥AC，試說明與的大小關係，並說明理由；

（3）如圖2所示，若圓O與CD相切，試求△BEF的面積．

【回答】

【分析】（1）根據題意利用同一圓中相等的弦所對的圓周角相等畫出圖形即可；

（2）連接BD、EG、EH，先由已知得出BD爲EF的中垂線，再得出∠BEG=22.5°=∠HBG，即可得出=；

（3）將△BCF繞點B逆時針旋轉90°到△BAP，過點B作BQ⊥EF，設⊙O與CD相切於點M，連接OM，延長MO交AB於點N，由已知得出△BPE≌△BFE，進而得出△AEB≌△QEB，可得C△EFD=4，再利用中位線出a的值，利用直角三角形得出b的值，即可求出△BEF的面積．

【解答】解：（1）如圖1，

（2）如圖2，連接BD、EG、EH，

∵EF∥AC，

∴DE=DF，

又∵BD平分∠EDF，

∴BD爲EF的中垂線，

∴BE=BF，BD平分∠EBF，

又∵∠EBF=45°=∠DBC，

∴∠EBD=∠DBF=∠HBG=22.5°，

∴∠EBG=67.5°，

又∵∠EGB=90°，

∴∠BEG=22.5°=∠HBG，

∴=，

（3）如圖3，將△BCF繞點B逆時針旋轉90°到△BAP，過點B作BQ⊥EF，設⊙O與CD相切於點M，連接OM，延長MO交AB於點N，

在△BPE與△BFE中，

，

∴△BPE≌△BFE（SAS），

∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，

由∠AEB=∠BEQ可知，

在△AEB和△QEB中，

，

∴△AEB≌△QEB（AAS），

∴BQ=AB=2，

由PE=EF可知，

C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，

設AE=a，DF=b，則DE=2﹣a，BE=，

∵O爲BE中點，且MN∥AD，

∴ON==，

∴OM=2﹣，

又BE=2OM，

∴=4﹣a，解得a=，

∴ED=，

又∵C△EFD=4，DF=b，

∴EF=4﹣b﹣=﹣b，

在RT△EDF中，（）2+b2=（﹣b）2，解得b=，

∴EF=﹣=，

∴S△BEF=××2=．

【點評】本題主要考查了圓的綜合題，解題的關鍵是正確作出輔助線，利用三解形全等及方程靈活的求解．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題