若實數數列滿足，則稱數列爲“數列”.（Ⅰ）若數列是數列，且，求，的值；(Ⅱ)求*：若數列是數列，則的項不可能全...

問題詳情：

若實數數列滿足，則稱數列爲“數列”.

（Ⅰ）若數列是數列，且，求，的值；

(Ⅱ) 求*：若數列是數列，則的項不可能全是正數，也不可能全是負數；

(Ⅲ) 若數列爲數列，且中不含值爲零的項，記前項中值爲負數的項的個數爲，求所有可能取值.

【回答】

【試題解析】

解：

（Ⅰ）因爲是數列，且

所以，

所以,                                  

所以，解得,                           

所以.                                   

 (Ⅱ) 假設數列的項都是正數，即，

所以，，與假設矛盾.

故數列的項不可能全是正數,

假設數列的項都是負數，

則而,與假設矛盾,

故數列的項不可能全是負數.

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知數列中項既有負數也有正數，

且最多連續兩項都是負數，最多連續三項都是正數.

因此存在最小的正整數滿足（）.

設，則

.

,

故有, 即數列是週期爲9的數列

由上可知這9項中爲負數，這兩項中一個爲正數，另一個爲負數，其餘項都是正數.

因爲,

所以當時，;

當時，這項中至多有一項爲負數，而且負數項只能是,

記這項中負數項的個數爲，

當時，若則，故爲負數，

此時，；

若則，故爲負數.

此時，，

當時，必須爲負數，，,

綜上可知的取值*爲.

知識點：數列

題型：解答題