.如圖（1），在五邊形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB爲...

國語站題庫 1.61W

問題詳情：

.如圖（1），在五邊形BCDAE中，CD∥AB，∠BCD=90°，CD=BC=1，AB=2，△ABE是以AB爲斜邊的等腰直角三角形，現將△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，如圖（2），記線段AB的中點爲O．（Ⅰ）求*：平面ABE⊥平面EOD；（Ⅱ）求平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小．

【回答】

.*：（Ⅰ）∵AB=2CD，O是線段AB的中點，∴OB=CD，又∵OB∥CD，∴四邊形OBCD爲平行四邊形，又∠BCD=90°，∴AB⊥OD，又∵O是等腰直角△EAB斜邊上的中點， ∴EO⊥AB， ∵EO∩DO=O，∴AB⊥平面EOD， ∵AB⊂平面ABE， ∴平面ABE⊥平面EOD．解：（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB， ∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD， ∴OB，OD，OE兩兩垂直，以O 爲座標原點，以OB，OD，OE所在直線分別爲x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系， ∵△EAB爲等腰直角三角形，且CD=BC=1， ∴OA=OB=OD=OE=1， ∴O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0）， C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）， ∴=（-1，0，0），=（0，-1，1），設平面ECD的一個法向量=（x，y，z），則，取y=1，得=（0，1，1）， ∵OD⊥平面ABE，∴是平面ABE的一個法向量，設平面ECD與平面ABE所成的銳二面角爲θ，則cosθ=|cos＜＞|==， ∴平面ECD與平面ABE所成的銳二面角的大小爲45°．