閱讀下列材料,完成任務:自相似圖形定義:若某個圖形可分割爲若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例...
問題詳情:
閱讀下列材料,完成任務:
自相似圖形
定義:若某個圖形可分割爲若干個都與它相似的圖形,則稱這個圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點,連接EG,HF交於點O,易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均爲正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務:
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中,每個正方形與原正方形的相似比爲 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發現△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過點C作CD⊥AB於點D,則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比爲 ;
(3)現有一個矩形ABCD是自相似圖形,其中長AD=a,寬AB=b(a>b).
請從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形,再將剩餘的部分橫向分割成3個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形,再將剩餘的部分橫向分割成n個全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
【回答】
【解答】解:(1)∵點H是AD的中點,
∴AH=AD,
∵正方形AEOH∽正方形ABCD,
∴相似比爲: ==;
故*爲:;
(2)在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,根據勾股定理得,AB=5,
∴△ACD與△ABC相似的相似比爲: =,
故*爲:;
(3)A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD,
∴AF:AB=AB:AD,
即a:b=b:a,
∴a=b;
故*爲:
②每個小矩形都是全等的,則其邊長爲b和a,
則b: a=a:b,
∴a=b;
故*爲:
B、①如圖2,
由①②可知縱向2塊矩形全等,橫向3塊矩形也全等,
∴DN=b
Ⅰ、當FM是矩形DFMN的長時,
∵矩形FMND∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AD:AB,
即FD: b=a:b,
解得FD=a,
∴AF=a﹣a=a,
∴AG===a,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即a:b=b:a
得:a=b;
Ⅱ、當DF是矩形DFMN的長時,
∵矩形DFMN∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AB:AD
即FD: b=b:a
解得FD=,
∴AF=a﹣=,
∴AG==,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即:b=b:a,
得:a=b;
故*爲:或;
②如圖3,
由①②可知縱向m塊矩形全等,橫向n塊矩形也全等,
∴DN=b,
Ⅰ、當FM是矩形DFMN的長時,
∵矩形FMND∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AD:AB,
即FD: b=a:b,
解得FD=a,
∴AF=a﹣a,
∴AG===a,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即a:b=b:a
得:a=b;
Ⅱ、當DF是矩形DFMN的長時,
∵矩形DFMN∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AB:AD
即FD: b=b:a
解得FD=,
∴AF=a﹣,
∴AG==,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即:b=b:a,
得:a=b;
故*爲: b或b.
知識點:相似三角形
題型:解答題