如圖,以點P(﹣1,0)爲圓心的圓,交x軸於B、C兩點(B在C的左側),交y軸於A、D兩點(A在D的下方),A...
問題詳情:
如圖,以點P(﹣1,0)爲圓心的圓,交x軸於B、C兩點(B在C的左側),交y軸於A、D兩點(A在D的下方),AD=2,將△ABC繞點P旋轉180°,得到△MCB.
(1)求B、C兩點的座標;
(2)請在圖中畫出線段MB、MC,並判斷四邊形ACMB的形狀(不必*),求出點M的座標;
(3)動直線l從與BM重合的位置開始繞點B順時針旋轉,到與BC重合時停止,設直線l與CM交點爲E,點Q爲BE的中點,過點E作EG⊥BC於G,連接MQ、QG.請問在旋轉過程中∠MQG的大小是否變化?若不變,求出∠MQG的度數;若變化,請說明理由.
【回答】
解:(1)連接PA,如圖1所示.
∵PO⊥AD,
∴AO=DO.
∵AD=2,
∴OA=.
∵點P座標爲(﹣1,0),
∴OP=1.
∴PA==2.
∴BP=CP=2.
∴B(﹣3,0),C(1,0).
(2)連接AP,延長AP交⊙P於點M,連接MB、MC.
如圖2所示,線段MB、MC即爲所求作.
四邊形ACMB是矩形.
理由如下:
∵△MCB由△ABC繞點P旋轉180°所得,
∴四邊形ACMB是平行四邊形.
∵BC是⊙P的直徑,
∴∠CAB=90°.
∴平行四邊形ACMB是矩形.
過點M作MH⊥BC,垂足爲H,如圖2所示.
在△MHP和△AOP中,
∵∠MHP=∠AOP,∠HPM=∠OPA,MP=AP,
∴△MHP≌△AOP.
∴MH=OA=,PH=PO=1.
∴OH=2.
∴點M的座標爲(﹣2,).
(3)在旋轉過程中∠MQG的大小不變.
∵四邊形ACMB是矩形,
∴∠BMC=90°.
∵EG⊥BO,
∴∠BGE=90°.
∴∠BMC=∠BGE=90°.
∵點Q是BE的中點,
∴QM=QE=QB=QG.
∴點E、M、B、G在以點Q爲圓心,QB爲半徑的圓上,如圖3所示.
∴∠MQG=2∠MBG.
∵∠COA=90°,OC=1,OA=,
∴tan∠OCA==.
∴∠OCA=60°.
∴∠MBC=∠BCA=60°.
∴∠MQG=120°.
∴在旋轉過程中∠MQG的大小不變,始終等於120°.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題