如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论:①CE=CF;②...
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如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上.下列结论:①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF;④S正方形ABCD=2+.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
C【考点】正方形的*质;全等三角形的判定与*质;等边三角形的*质.
【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误;根据角角之间的数量关系,以及三角形内角和为180°判断②的正误;根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误,利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF,
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF,
∵BC=DC,
∴BC﹣BE=CD﹣DF,
∴CE=CF,
∴①说法正确;
∵CE=CF,
∴△ECF是等腰直角三角形,
∴∠CEF=45°,
∵∠AEF=60°,
∴∠AEB=75°,
∴②说法正确;
如图,连接AC,交EF于G点,
∴AC⊥EF,且AC平分EF,
∵∠CAF≠∠DAF,
∴DF≠FG,
∴BE+DF≠EF,
∴③说法错误;
∵EF=2,
∴CE=CF=,
设正方形的边长为a,
在Rt△ADF中,
a2+(a﹣)2=4,
解得a=,
则a2=2+,
∴S正方形ABCD=2+,
④说法正确,
∴正确的有①②④.
故选C.
【点评】本题主要考查正方形的*质的知识点,解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的*以及辅助线的正确作法,此题难度不大,但是有一点麻烦.
知识点:特殊的平行四边形
题型:选择题