问题情境:已知AC是正方形ABCD的对角线,将正方形PQST和正方形ABCD按如图放置.(1)如图1,使点P与...
问题详情:
问题情境:
已知AC是正方形ABCD的对角线,将正方形PQST和正方形ABCD按如图放置.
(1)如图1,使点P与点A重合,PT与DC相交与点E, PQ与CB的延长线相交于点F.求*: AF=AE
(2)如图2,使点P在AC上(A, C两点除外),PT与DC相交与点E, PQ与CB的延长线相交与点F.判断PE和PF的数量关系,并说明理由.
拓广探索:
(3) 如图3,使P在BC上(B,C两点除外), PT经过点A, PQ与正方形ABCD的外角∠DCK的平分线CE相交与点E.判断PA和PE的数量关系,并说明理由.
【回答】
考点:正方形与全等三角形综合
*:见解析
解析:( 1 )手拉手全等可以*MDE≌ABF(AS)
AF=AE
(2)PE=PF ,理由如下:
过点P作PG⊥DC于点G,作PH⊥BC于点H
四边形PQST是正方形
∠QPT= 90°
四边形ABCD是正方形
CP平分∠DCB,∠BCD= 90°
又PG⊥DC于点G,PH⊥BC于点H
PG= PH
PG⊥DC,PH⊥BC
∠PGC=90°,∠PHC= 90°
在四边形PHCG中,∠PGC=90°,∠PHC=90°,∠GCH = 90°
∠GPH= 360°-∠PGC-∠GCH- ∠PHC= 360°- 90°- 90°- 90°= 90°
∠GPE+∠EPH =90°
∠QPT= 90°
∠EPH+∠HPF = 90°
∠GPE=∠HPF
PGE≌PHF( ASA)
PE= PF
(3)PA=PE ,理由如下:
在BA上取点M使得BM=BP,连接PM
四边形PQST是正方形
∠QPT= 90°
∠CPE+∠BPA= 90° .
四边形ABCD是正方形
AB=BC,∠B=90°,∠ BCD= 90°
在ABP中∠B=90°,∠BAP+∠BPA=90°
∠CPE=∠B4P
AB=BC,BM=BP
AB-BM= BC- BP即AM= PC .
∠B=90°,BM=BP
BMP是等腰直角三E角形,∠BMP= 45°
∠AMP=180°-∠BMP= 180°- 45°= 135°
CE平分∠DCK
∠DCE=∠DCK=45° .
∠PCE=∠PCD+∠DCE=90° +45°= 135°
∠AMP=∠PCE
∠CPE=∠BAP,AM=PC,∠AMP=∠PCE
AMP≌PCE(ASA)
PA=PE
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题