在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求点A到平面A1DE的...

问题详情：

在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，

（1）求点A到平面A1DE的距离；

（2）求*：CF∥平面A1DE；

（3）求二面角E﹣A1D﹣A的平面角大小的余弦值．

【回答】

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

【专题】综合题；空间角．

【分析】（1）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的点到平面的距离公式即可求得点A到平面A1DE的距离；

（2）确定•=﹣2+2=0，可得⊥，从而可得CF∥平面A1DE；

（3）确定平面A1DA的法向量、平面A1DE的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．

【解答】（1）解：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），

D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），

∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）

设平面A1DE的法向量是=（a，b，c）

则，∴=（﹣2，1，2）

∴点A到平面A1DE的距离是d==；

（2）*：∵=（0，﹣2，1），

∴•=﹣2+2=0，∴⊥，

∴CF∥平面A1DE；

（3）解：∵平面A1DA的法向量为=（0，2，0），平面A1DE的法向量是=（﹣2，1，2）

∴cos＜＞===．

【点评】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、直线与平面平行的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题