如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=4...
问题详情:
如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是( )
A.2 B.4 C.4 D.8
【回答】
C【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形,求得AB=OA=2,根据已知条件即可得到结论.
【解答】解:过点O作OC⊥AB于C,交⊙O于D、E两点,连结OA、OB、DA、DB、EA、EB,如图,
∵∠AMB=45°,
∴∠AOB=2∠AMB=90°,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=OA=2,
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB,
∴当M点到AB的距离最大,△MAB的面积最大;当N点到AB的距离最大时,△NAB的面积最大,
即M点运动到D点,N点运动到E点,
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB(CD+CE)=AB•DE=×2×4=4.
故选C.
【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
知识点:圆的有关*质
题型:选择题